Definizione di un vettore

Un vettore è una quantità con sia una grandezza (dimensione) che una direzione. Geometricamente, un vettore può essere rappresentato da un segmento di linea orientato, la cui direzione punta nella direzione del vettore e la cui lunghezza è proporzionale alla grandezza del vettore.

Come scrivere un vettore

Un vettore può essere scritto in diversi modi. Un metodo consiste nell'utilizzare caratteri in grassetto, ad es.

. Puoi anche usare una sottolineatura (

) o una freccia disegnata sopra una lettera (

). Se il simbolo di un vettore è scritto senza questi, viene considerato la grandezza del vettore.

Due vettori che hanno la stessa lunghezza e direzione sono uguali. Nel diagramma sottostante,

.

Come trovare i componenti di un vettore

Per trovare la componente di un vettore in una data direzione, traccia una linea parallela alla direzione necessaria, passando per l'estremità "coda" del vettore. Quindi, rilascia una linea perpendicolare dal "naso" del vettore su questa linea. La componente del vettore nella direzione data è, quindi, la lunghezza della linea dalla "coda" del vettore alla linea perpendicolare caduta.

Ad esempio, nel diagramma sottostante, la componente del vettore

lungo il

-asse è

e il componente lungo il

-asse è

.

Dalla trigonometria abbiamo:

e,

Generalmente, se un vettore con modulo

fa un angolo

in una data direzione, allora la componente del vettore lungo quella direzione è

, e la componente del vettore nella direzione perpendicolare a quella direzione è

.

Esempio

Un aereo decolla alla velocità di 253 km h^-1, facendo un angolo di 15^o alla pista. Supponendo che il sole splenda direttamente sopra la tua testa, trova la velocità dell'ombra dell'aereo lungo la pista.

La velocità dell'ombra è la componente della velocità dell'aereo lungo la pista. Poiché l'aereo sta viaggiando con un angolo di 15^o alla pista, la velocità dell'ombra è allora

km h^-1.

Viceversa, se sono note le componenti di un vettore lungo due direzioni perpendicolari, possiamo usare la semplice trigonometria per trovare l'angolo che il vettore forma lungo una delle direzioni e possiamo anche calcolare la dimensione del vettore originale.

Esempio

Un tosaerba viene spinto lungo il terreno, con una forza

esercitato lungo il manico. Le componenti verticale e orizzontale della forza sono rispettivamente 30,6 N e 25,7 N. Trova a) dimensione della forza

e b) l'angolo

che il tosaerba fa con il terreno.

Innanzitutto, per trovare la dimensione della forza, usiamo il teorema di Pitagora:

N.

L'angolo

è dato da

Come rappresentare i vettori nel sistema di coordinate cartesiane

Se le componenti di un vettore

lungo il

,

e

gli assi sono

,

e

rispettivamente, il vettore può essere scritto come

.

Come trovare la grandezza di un vettore

magnitudo si riferisce alla dimensione del vettore, senza tener conto della sua direzione. La grandezza di un vettore

è scritto come

. Se la lettera è semplicemente scritta come

, questo è anche preso per indicare la grandezza del vettore.

Se un vettore

, quindi la sua grandezza

.

Esempio

Il vettore del campo elettrico in un punto è dato da

N C^-1. Trova l'intensità del campo elettrico.

N C^-1.

Cosa sono i vettori di unità?

UN vettore unitario è un vettore con un modulo di 1 unità. I vettori di unità sono spesso scritti con un "cappello" sopra la lettera. per esempio.

. Il vettore unitario lungo la direzione di un vettore

, è definito come:

In particolare, sul sistema di coordinate cartesiane, i versori lungo la

,

e

gli assi sono scritti come

,

e

rispettivamente.

Utilizzando questi vettori unitari, un vettore nel sistema di coordinate cartesiane tridimensionale può essere scritto come somma di 3 vettori lungo il

,

e

indicazioni. Questo viene fatto prendendo i componenti del vettore lungo

,

e

assi e moltiplicando ogni componente per il vettore unitario dell'asse corrispondente.

Ad esempio, il vettore

può essere scritto come

.

Come aggiungere e sottrarre vettori